Question

11．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x＜1}\\{lo{g}_{2}x，x≥1}\end{array}\right.$ 那么f[f（-$\frac{1}{2}$）]=$\frac{1}{2}$；若函数y=f（x）-k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由分段函数可知f（-$\frac{1}{2}$）=${2}^{\frac{1}{2}}$，则f[f（-$\frac{1}{2}$）]=f（${2}^{\frac{1}{2}}$）=$lo{g}_{2}{2}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$，画出分段函数的图象，数形结合得答案．

解答 解：由分段函数可知f（-$\frac{1}{2}$）=${2}^{\frac{1}{2}}$，
∴f[f（-$\frac{1}{2}$）]=f（${2}^{\frac{1}{2}}$）=$lo{g}_{2}{2}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$；
由y=f（x）-k=0，
得f（x）=k．
令y=k与y=f（x），
作出函数y=k与y=f（x）的图象如图：

由图可知，函数y=f（x）-k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是$（\frac{1}{2}，+∞）$．
故答案为：$\frac{1}{2}$；（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查分段函数的应用，考查函数零点的判断，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．