Question

12．如图，若点E为正方形ABCD外一点，∠BEC=45°，连AE．
（1）求∠AEB的度数；
（2）求证：AE+CE=$\sqrt{2}$BE．

Answer 1

分析 （1）过点B作BF⊥BE交EC延长线于F，由∠BEC=45°得BF=BE，根据四边形ABCD是正方形得AB=BC、∠ABE=∠CBF，依据“SAS”证△ABE≌△CBF可得∠AEB=∠F=45°；
（2）由△ABE≌△CBF知CF=AE，在RT△BEF中，由勾股定理得EF=EC+CF=$\sqrt{2}$BE，即AE+CE=$\sqrt{2}$BE．

解答 （1）解：过点B作BF⊥BE交EC的延长线于F，

∵∠BEC=45°，
∴∠F=45°，
∴∠F=∠BEC，
∴BF=BE，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BE=BF}\\{∠ABE=∠CBF}\\{AB=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠AEB=∠F=45°；
（2）证明：∵△ABE≌△CBF，
∴CF=AE，
在Rt△BEF中，
∵BE²+BF²=EF²，
∴$\sqrt{2}$BE=EF，
∴AE+CE=$\sqrt{2}$BE．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过构建全等三角形将待求角转换到求另一个相等角是解题关键．