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(本小题16分)设双曲线:的焦点为F1,F2.离心率为2。
(1)求此双曲线渐近线L1,L2的方程;
(2)若A,B分别为L1,L2上的动点,且2,求线段AB中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。

(1)由已知双曲线的离心率为2得:解得a2=1,   ……2分
所以双曲线的方程为,                    ……4分
所以渐近线L1,L2的方程为=0             ……6分
(2)c2=a2+b2=4,得c=2 ,所以
又2所以=10                        ……8分
设A在L1上,B在L2上,设A(x1,B(x2,-      
所以    ……10分
设AB的中点M的坐标为(x,y),则x=,y=
所以x1+x2=2x , x1-x2=2
所以整理得:                   ……14分
所以线段AB中点M的轨迹方程为:,轨迹是椭圆。    ……16分

解析试题分析:(1)由已知双曲线的离心率为2得:解得a2=1,   ……2分
所以双曲线的方程为,                    ……4分
所以渐近线L1,L2的方程为=0             ……6分
(2)c2=a2+b2=4,得c=2 ,所以
又2所以=10                        ……8分
设A在L1上,B在L2上,设A(x1,B(x2,-      
所以    ……10分
设AB的中点M的坐标为(x,y),则x=,y=
所以x1+x2=2x , x1-x2=2
所以整理得:                   ……14分
所以线段AB中点M的轨迹方程为:,轨迹是椭圆。    ……16分
考点:本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质,轨迹方程的求法。
点评:点评:求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题,本题利用相关点法求轨迹方程,相关点法 根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程.中档题。

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆C=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设经过点F的直线交椭圆CMN两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

某海域有两个岛屿,岛在岛正东4海里处。经多年观察研究发现,某种鱼群洄游的路线是曲线,曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发现过鱼群。以所在直线为轴,的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系。

(1)求曲线的标准方程;(6分)
(2)某日,研究人员在两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同),两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为,问你能否确定处的位置(即点的坐标)?(8分)

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(本题12分)
已知椭圆的右焦点为F,上顶点为A,P为C上任一点,MN是圆的一条直径,若与AF平行且在y轴上的截距为的直线恰好与圆相切.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若的最大值为49,求椭圆C的方程.

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(本小题满分14分)设椭圆与抛物线的焦点均在轴上,的中心和的顶点均为原点,从每条曲线上至少取两个点,将其坐标记录于下表中:













 
1)求的标准方程, 并分别求出它们的离心率
2)设直线与椭圆交于不同的两点,且(其中坐标原点),请问是否存在这样的直线过抛物线的焦点若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.

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( 本小题满分12分)如图所示,已知圆为圆上一动点,点上,点上,且满足的轨迹为曲线

求曲线的方程;
若过定点F(0,2)的直线交曲线于不同的两点(点在点之间),且满足,求的取值范围。

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(本小题满分10分)
已知抛物线与直线交于两点.
(Ⅰ)求弦的长度;
(Ⅱ)若点在抛物线上,且的面积为,求点P的坐标.

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(本题满分12分)
已知椭圆C:的上顶点坐标为,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设P为椭圆上一点,A为左顶点,F为椭圆的右焦点,求的取值范围.

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(本小题满分10分)已知中心在原点O,焦点在轴上的椭圆C的离心率为,点A,B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点,点O到直线AB的距离为

(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知点E(3,0),设点P、Q是椭圆C上的两个动点,满足EP⊥EQ,
的取值范围.

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