Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$=（1，-1），|$\overrightarrow{b}$|=1，且$\overrightarrow{b}$⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 求得向量$\overrightarrow{a}$的模，由向量垂直的条件：数量积为0，化简，再由数量积的定义和向量的平方即为模的平方，解方程可得向量夹角的余弦值，进而得到向量的夹角．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$=（1，-1），|$\overrightarrow{b}$|=1，且$\overrightarrow{b}$⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
可得|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{b}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，
即为$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²=0，
即有|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞+|$\overrightarrow{b}$|²=$\sqrt{2}$cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞+1=0，
则cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞≤π，
可得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{3π}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查向量数量积的定义和向量垂直的条件：数量积为0，以及向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．