Question

若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列．已知数列是调和数列，对于各项都是正数的数列，满足．
（Ⅰ）证明数列是等比数列；

（Ⅱ）把数列中所有项按如图所示的规律排成一个三角形
数表，当时，求第行各数的和；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列，证明：．

Answer 1

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
（Ⅲ）见解析

（Ⅰ）证明：因为，且数列中各项都是正数，
所以．
设，  ①
因为数列是调和数列，故，．
所以，．  ②
由①得，代入②式得，
所以，即.
故，所以数列是等比数列．      …………………………5分
（Ⅱ）设的公比为，则，即．由于，故．
于是．
注意到第行共有个数，
所以三角形数表中第1行至第行共含有个数.
因此第行第1个数是数列中的第项.
故第行第1个数是，
所以第行各数的和为． ………… 9分
（Ⅲ）因为，所以.
所以．
又，
，
所以
.
所以．  ………………………14分