Question

6．不共线向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，且$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由题意利用两个向量两垂直的性质，两个向量的夹角公式求得cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$ 的值，可得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ 的值．

解答 解：不共线向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，且$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0．
设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则θ∈[0，π]，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\overline{a}•\overrightarrow{b}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$，
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查两个向量两垂直的性质，两个向量的夹角公式，属于基础题．