Question

1．已知函数$f（x）=sinxcos（{x+\frac{π}{6}}）$．
（I）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f（C）=$\frac{1}{4}$，a=2，且△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求c的值．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（Ⅱ）根据f（C）=$\frac{1}{4}$，求出C，a=2，且△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求出b，利用余弦定理可得c的值．

解答 解：函数$f（x）=sinxcos（{x+\frac{π}{6}}）$．
化简可得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{4}$cos2x-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{4}$．
（I）由$-\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{3}+kπ$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$．
∴函数f（x）的单调增区间为[$-\frac{π}{3}+kπ$，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（C）=$\frac{1}{4}$，即$\frac{1}{2}$sin（2C+$\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$
可得：2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{6}$．
由a=2，且△ABC的面积为$\sqrt{3}$，即S=$\frac{1}{2}ab$sinC=$\sqrt{3}$，
∴b=2$\sqrt{3}$．
余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC，
可得：${c}^{2}=4+12-4×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=4．
∴c=2．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．本题还考查三角形的正余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．