Question

4．函数f（x）=$\frac{1}{3}a{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}$-2ax+2a+1图象经过四个象限的必要而不充分条件是（　　）

• A． -$\frac{4}{3}$＜x＜-$\frac{1}{3}$
• B． -2＜a＜0
• C． -$\frac{6}{5}$＜a＜-$\frac{3}{16}$
• D． -1＜a＜-$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由f（x），求导，f′（x）=ax²+ax-2a=a（x-1）（x+2），由题意可知：f（-2）＜0，且f（1）＞0，即可求得a的取值范围，根据a的取值范围，根据集合的关系，即可求得函数f（x）图象经过四个象限的必要而不充分条件为-2＜a＜0．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{3}a{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}$-2ax+2a+1，求导f′（x）=ax²+ax-2a=a（x-1）（x+2）．
若a＜0，令f′（x）＜0，解得：x＜-2或x＞1，
令f′（x）＞0，解得：-2＜x＜1，
由题意可知：f（-2）＜0，且f（1）＞0，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}a（-2）^{3}+\frac{1}{2}a（-2）^{2}-2a（-2）+2a+1＜0}\\{\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}a-2a+2a+1＞0}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{6}{5}$＜a＜-$\frac{3}{16}$，
若a≥0，则无解，
∴数f（x）=$\frac{1}{3}a{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}$-2ax+2a+1图象经过四个象限的充要条件为{a丨-$\frac{6}{5}$＜a＜-$\frac{3}{16}$}，
由题意可知：函数f（x）图象经过四个象限的必要而不充分条件为：-2＜a＜0．
故选：B．

点评 本题考查函数与导数的应用，利用导数判断函数的单调性，考查充分条件及必要条件之间的关系，考查计算能力，属于中档题．