Question

在△ABC中，A、B为锐角且B＜A，sinA=

5

5

，sin2B=

3

5

．
（1）求角C的值；
（2）求证：5cosAcos（A+3B）=2sinB．

Answer 1

考点：三角函数恒等式的证明,解三角形

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）由已知sinA，sin2B可求cosA，cos2B，利用半角公式可求cosB，从而可得cosC=-cos（A+B），
（2）根据（1）的结论代入证明左边等于右边即可．

解答： 解：（1）∵A为锐角，sinA=

5

5

∴cosA=

1- 1 5

=

2

5

--------------（2分）
∵B＜A，sinA=

5

5

＜

2

2

，
∴B＜45°--------------（3分）
∵sin2B=

3

5

，
∴cos2B=

1- 9 25

=

4

5

∴cosB=

1+cos2B 2

=

3

10

，sinB=

1

10

--------------（4分）
cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-

2

5

×

3

10

+

1

5

×

1

10

=-

2

2

∴C=135°--------------（6分）
（2）证明：左边=5cosAcos（π-C+2B）=-5cosAcos（C-2B）=-5cosA[cosCcos2B+sinCsin2B]=-5×

2

5

×（-

2

2

×

4

5

+

2

2

×

3

5

）=

10

5

=2×

1

10

=2sinB=右边
从而得证．

点评：本题主要考察了三角函数恒等式的证明，解三角形，属于基本知识的考查．