Question

【题目】已知函数是奇函数，且时，有，，则不等式的解集为____．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据条件构造函数g（x）＝f（x）﹣x，判断函数g（x）的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．

由x﹣3≤f（x）≤x等价为﹣3≤f（x）﹣x≤0

设g（x）＝f（x）﹣x，

又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），

则有g（﹣x）＝f（﹣x）﹣（﹣x）＝﹣f（x）+x＝﹣[f（x）﹣x]＝﹣g（x），

即函数g（x）为R上的奇函数，

则有g（0）＝0；

又由对任意0≤x1＜x2时，有1，

则1，

∵1，

∴1＜0，

即g（x）在[0，+∞）上为减函数，

∵g（x）是奇函数，

∴g（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，

∵f（﹣2）＝1，∴g（﹣2）＝f（﹣2）﹣（﹣2）＝1+2＝3；

g（2）＝﹣3，g（0）＝f（0）﹣0＝0，

则﹣3≤f（x）﹣x≤0等价为g（2）≤g（x）≤g（0），

∵g（x）是减函数，

∴0≤x≤2，

即不等式x﹣3≤f（x）≤x的解集为[0，2]；

故答案为：[0，2]．