Question

15．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{7}$（2³ⁿ⁺¹-2）
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，求$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$$+\frac{1}{b{{\;}_{2}b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$．

Answer 1

分析 （1）当n≥2，S_n-1=$\frac{1}{7}$（2^3n-2-2），求得数列{a_n}的通项公式a_n=2^3n-2，
（2）写出{b_n}的通项公式，b_n=3n-2，$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$），再求和．

解答 解：（1）S_n=$\frac{1}{7}$（2³ⁿ⁺¹-2），
当n≥2时，S_n-1=$\frac{1}{7}$（2^3n-2-2），
两式相减，a_n=$\frac{1}{7}$（2³ⁿ⁺¹-2^3n-2），
∴a_n=2^3n-2，当n=1，成立；
∴a_n=2^3n-2，
（2）b_n=log₂a_n=3n-2，b_n+1=log₂a_n+1=3n+1，
$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$），
$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$$+\frac{1}{b{{\;}_{2}b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$[（1-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$）]，
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$），
=$\frac{n}{3n+1}$．

点评 本题考查求数列的通项公式和数列的“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．