Question

20．已知平面M内有4个点，平面N内有5个点，问这九个点最多能确定（1）多少个平面？（2）多少个四面体？

Answer 1

分析 这九个点中，任取三个点，需要分四种情况，一是三点均在平面α内，二是三点均在平面β内，三是平面α内取两个点，在平面β内取一个点，四是平面α内取一个点，在平面β内取两个点；这九个点中，任取四个点，需要分四种情况，一是三点均在平面α内，二是三点均在平面β内，三是平面α内取两个点，在平面β内取一个点，四是平面α内取一个点，在平面β内取两个点，我们利用组合数公式易得结果．

解答 解：从9个点中取3时，确定的平面分以下几种情况：
①当三点均在平面α内时，确定的平面即为α，即满足条件的平面有1个；
②当三点均在平面β内时，确定的平面即为β，即满足条件的平面有1个；
③当三点在平面α内取两个点，在平面β内取一个点时，确定的平面个数有C₄²C₅¹=30个，
④当三点在平面α内取一个点，在平面β内取两个点时，确定的平面个数有C₄¹C₅²=40个，
故满足答案的平面共有72个；
从9个点中取3时，确定的四面体分以下几种情况：
①当四点在平面α内取三个点，在平面β内取一个点时，确定的平面个数有C₄³C₅¹=20个，
②当四点在平面α内取二个点，在平面β内取两个点时，确定的平面个数有C₄²C₅²=60个，
③当四点在平面α内取一个点，在平面β内取三个点时，确定的平面个数有C₄¹C₅³=40个，
故满足答案的四面体共有120个．

点评 本题考查的知识点是平面的性质及推论，根据公理2不共线三点确定一个平面，我们分类讨论三点的位置情况，易得结论，属于中档题．