Question

8．半径为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$的圆内接三角形ABC，∠A=60°，则△ABC周长的最大值为6．

Answer 1

分析 利用正弦定理得出三角形三边关于B的函数，利用B的范围和正弦函数的性质求出周长的最大值．

解答 解：由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sinA$=2，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sinB$，c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sinC$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sin（120°-B）$=2cosB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB．
∴a+b+c=2+2$\sqrt{3}$sinB+2cosB=2+4sin（B+30°）．
∵0°＜B＜120°，∴30°＜B+30°＜150°．
∴当B+30°=90°时a+b+c取得最大值2+4=6．
故答案为：6．

点评 本题考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，属于中档题．