Question

2．若f（n）为n²+1（n∈N^*）的各位数字之和，如14²+1=197，1+9+7=17，则f（14）=17；记f₁（n）=f（n），f₂（n）=f（f₁（n）），…，f_k+1（n）=f（f_k（n）），k∈N^*，则f₂₀₁₆（8）=8．

Answer 1

分析 通过计算f₁（8）、f₂（8）和f₃（8），得到f_n+3（8）=f_n（8）对任意n∈N^*成立，由此可得f₂₀₁₆（8）=f₃（8）=8，得到本题答案．

解答 解：根据题意，可得
f₁（8）=f（8）=64+1=656+5=11，
f₂（8）=f[f₁（8）]=f（11）=121+1=122=1+2+2=5，
f₃（8）=f[f₂（8）]=f（5）=25+1=26=8，
f₄（8）=f[f₃（8）]=f（8）=11，
…
因此，可得f_n+3（8）=f_n（8）对任意n∈N^*成立，
∴f₂₀₁₆（8）=f₃（8）=8．
故答案为：8．

点评 本题给出“f（n）为n²+1（n∈N^*）的各位数字之和”的模型，求f₂₀₁₆（8）的值，着重考查了函数的对应法则、数列的周期和进行简单的合情推理等知识，属于基础题．