Question

【题目】已知函数f(x)＝2x－.

(1)判断函数的奇偶性，并证明；

(2)用单调性的定义证明函数f(x)＝2x－在(0，＋∞)上单调递增．

Answer 1

【答案】(1)函数f(x)＝2x－是奇函数．

证明如下：易知f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．

因为f(－x)＝2(－x)－＝－2x＋＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，

则f(x2)－f(x1)＝2x2－－＝2(x2－x1)＋5＝(x2－x1)，

因为0<x1<x2，所以x2－x1>0，x1x2>0，

所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，

所以f(x)＝2x－在(0，＋∞)上单调递增．

【解析】

（1）由定义判断与的关系，即可判断函数奇偶性；

（2）由定义证明单调性，假设定义域内的两自变量的值，作差求的符号，进而判断单调性.

(1)函数f(x)＝2x－是奇函数．

证明如下：易知f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．

因为f(－x)＝2(－x)－＝－2x＋＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，

则f(x2)－f(x1)

＝2x2－－

＝2(x2－x1)＋5

＝(x2－x1)，

因为0<x1<x2，所以x2－x1>0，x1x2>0，

所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，

所以f(x)＝2x－在(0，＋∞)上单调递增．