Question

已知函数f（x）=cos（2x-

π

3

）-2cos（x+

π

4

）sin（x+

π

4

）
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴；
（2）求函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角差的余弦公式，诱导公式及二倍角正弦公式将f（x）化为一角一函数形式得出f（x）=sin（2x-

π

6

），即可得到结论．．
（2）先求出2x-

π

6

的范围，再求出值域．

解答： 解：（1）f（x）=cos（2x-

π

3

）-2cos（x+

π

4

）sin（x+

π

4

）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-sin（2x+

π

2

）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
最小正周期 T=

2π

2

=π，
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z得图象的对称轴方程 x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z．
（2）当x∈[-

π

12

，

π

2

]时，2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，
由正弦函数的性质得值域为[-

3

2

，1]．

点评：本题考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力，三角函数的图象和性质，整体换元的思想方法．