Question

3．已知函数f（x）=x²+（2+lga）x+lgb满足f（-1）=-2，且对于任意x∈R，f（x）≥2x成立．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[m，3m+4]上的最大值不大于6，求m取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用对数的运算法则及对于任意x∈R二次函数f（x）-2x≥0恒成立问题与判别式△的关系即可解出；
（Ⅱ）求出f（x）的对称轴，由m＜3m+4，可得m＞-2，判断f（x）的单调性，可得f（x）的最大值为f（3m+4），最大值不大于6，解不等式即可得到m的范围．

解答 解：（Ⅰ）由f（-1）=-2知，lgb-lga+1=0①，
∴a=10b②．
又对于任意x∈R，f（x）≥2x恒成立，
即f（x）-2x≥0恒成立，则x²+x•lga+lgb≥0恒成立，
故△=lg²a-4lgb≤0，
将①式代入上式得：lg²b-2lgb+1≤0，即（lgb-1）²≤0，
故lgb=1，即b=10，代入②得，a=100；
故a=100，b=10．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=x²+4x+1=（x+2）²-3的对称轴为x=-2，
由m＜3m+4，可得m＞-2，
所以函数f（x）在[m，3m+4]上为单调递增函数，
于是最大值为f（3m+4）=（3m+6）²-3≤6，
解得-2＜m≤-1．
即m的取值范围是（-2，-1]．

点评 熟练掌握对数的运算法则、二次函数恒成立问题与判别式△的关系、把恒成立问题等价转化、二次函数的单调性等是解题的关键．