Question

已知y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，且对任意0≤x≤1，都有f′（x）≥0，则a=f（

98

19

），b=f（

101

17

），c=f（

106

15

）的大小关系是（　　）

• A、c＜b＜a
• B、c＜a＜b
• C、a＜c＜b
• D、a＜b＜c

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数奇偶性的性质得到函数f（x）是周期为4的周期函数，利用函数的奇偶性，以及导数研究函数的单调性即可得到结论．

解答： 解：∵y=f（x+1）是奇函数，
∴f（-x+1）=-f（x+1），且函数关于（-1，0）对称，
∵y=f（x）是偶函数，
∴f（-x+1）=-f（x+1）=f（x-1），
即-f（x+2）=f（x），
即f（x+4）=f（x），则函数的周期为4，
则a=f（

98

19

）=f（4+

22

19

）=f（

22

19

）=f（1+

3

19

）=-f（-

3

19

+1）=-f（

16

19

），
b=f（

101

17

）=f（6-

1

17

）=f（-

1

17

）=f（

1

17

），
c=f（

106

15

）=f（7+

1

15

）=f（1+

1

15

）=-f（-

1

15

+1）=-f（

14

15

），
∵对任意0≤x≤1，都有f′（x）≥0，则此时函数f（x）单调递增，且f（x）≥f（0）=0，．
∴f（

14

15

）＞f（

16

19

），-f（

14

15

）＜-f（

16

19

），即c＜a，
当函数f（x）是偶函数，且对任意0≤x≤1，f（x）≥0，
∴-f（

14

15

）＜-f（

16

19

）＜0＜f（

1

17

），
即c＜a＜b．
故选：B

点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．综合考查函数性质的综合应用以及导数和函数单调性之间的关系．