Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A（2，1），离心率e=

3

2

（1）求椭圆方程；
（2）过直线y=2上的点P作椭圆的两条切线，切点分别为B，C
①求证：直线BC过定点；
②求△OBC面积的最大值；
参考公式：过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上点（x₀，y₀）的切线方程为

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A（2，1），离心率e=

3

2

，建立方程，求出a，b，即可求椭圆方程；
（2）①求出切线PB，PC的方程，代入P，即可得出结论；
②表示出面积，利用配方法，即可求△OBC面积的最大值．

解答： （1）解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A（2，1），离心率e=

3

2

，
∴

4

a2

+

1

b2

=1，

c

a

=

3

2

，
∴a²=8，b²=2，
∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

2

=1；
（2）①证明：设P（x₀，2），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则切线PB：

x1x

8

+

y1y

2

=1，PC：

x2x

8

+

y2y

2

=1，
P（x₀，2）代入，可得直线BC的方程为

x0x

8

+y=1，
∴直线BC过定点（0，1）；
②

x0x

8

+y=1代入椭圆方程可得（1+

x02

16

）x²-x₀x-4=0，
∴x₁+x₂=

x0

1+ x02 16

，x₁x₂=

-4

1+ x02 16

，
∴S_△OBC=

1

2

|x₁-x₂|=

8 2x02+16

x02+16

，
令u=x02+16，则S_△OBC=8

-16( 1 u - 1 16 )2+ 1 16

≤2，
∴△OBC面积的最大值为2．

点评：本题考查椭圆的方程，考查椭圆的性质，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．