Question

15．已知函数f（x）=x³+$\frac{1}{x+1}$，x∈[0，1]．
（1）用分析法证明：f（x）≥1-x+x²；
（2）证明：f（x）＞$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用分析法的证明步骤，即可得出结论．
（2）利用配方法，结合（1），即可得出结论．

解答 证明：（1）∵x∈[0，1]，∴x+1∈[1，2]．
要证明：f（x）≥1-x+x²，
只要证明：x³（x+1）+1≥（x+1）（1-x+x²），
只要证明：x⁴≥0，
显然成立，
∴f（x）≥1-x+x²；
（2）∵1-x+x²=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，当且仅当x=$\frac{1}{2}$时取等号，
∵f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{19}{24}$＞$\frac{3}{4}$，f（x）≥1-x+x²，
∴f（x）＞$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查用分析法证明不等式，把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止．