Question

对于任意实数a，b，定义min{a，b}=

a，a≤b b，a＞b

．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x-4）=f（x），且当0≤x≤2时，f（x）=min{2^x-1，2-x}．若方程f（x）-mx=0恰有4个零点，则m的取值范围是（　　）

• A、（-

  1

  3

  ，

  1

  3

  ）
• B、（-

  1

  3

  ，-

  1

  5

  ）
• C、（

  1

  5

  ，

  1

  3

  ）
• D、（-

  1

  3

  ，-

  1

  5

  ）∪（

  1

  5

  ，

  1

  3

  ）

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据定义，求出函数f（x）的表达式，利用函数奇偶性和周期性，作出函数f（x）的图象，由方程f（x）-mx=0，得f（x）=mx利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：当0≤x≤2时，f（x）=min{2^x-1，2-x}=

2x-1， 0≤x≤1 2-x， 1＜x≤2

．
∵在R上的偶函数f（x）满足f（x-4）=f（x），
∴函数f（x）的周期是4，
由方程f（x）-mx=0，得f（x）=mx，
作出函数f（x）和g（x）=mx的图象如图，
当m=0时，方程由无穷多个根，不满足条件，
若m＞0，则要使方程f（x）-mx=0恰有4个零点，
则满足

g(3)＜1 g(5)＞1

，即

3m＜1 5m＞1

，即

m＜ 1 3 m＞ 1 5

，解得

1

5

＜m＜

1

3

，
若m＜0，则要使方程f（x）-mx=0恰有4个零点，
则满足

g(-3)＜1 g(-5)＞1

，即

-3m＜1 -5m＞1

，即

m＞- 1 3 m＜- 1 5

，解得-

1

3

＜m＜-

1

5

，
综上a∈（-

1

3

，-

1

5

）∪（

1

5

，

1

3

），
故选：D

点评：本题主要考查函数与方程的应用，根据函数的奇偶性和周期性作出函数f（x）的图象，将方程转化为函数图象的交点问题 是解决本题的关键．要注意使用数形结合的数学思想．