Question

5．任给7个正数，证明其中必有两个正数记为x，y，满足0≤$\frac{x-y}{1+xy}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 通过观察可知$\frac{x-y}{1+xy}$与正切的差角公式在形式上是一致的，进而利用正切函数的单调性及抽屉原理分析即得结论．

解答 证明：依题意，必存在α_i∈[0，$\frac{π}{2}$）（其中1≤i≤7，i∈N⁺）使得tanα_i为任给的七个正数，
将区间[0，$\frac{π}{2}$）等分成分成[0，$\frac{π}{12}$）、[$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{12}$）、…、[$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}$）六个部分，
不妨设当1≤i＜j≤7时α_i≤α_j，由抽屉原理可知至少存在两个α_i、α_j在同一区间内，
于是存在i、j使得0≤α_j-α_i≤$\frac{π}{6}$，
∴$\frac{x-y}{1+xy}$=$\frac{tan{a}_{j}-tan{α}_{i}}{1+tan{a}_{j}tan{α}_{i}}$=tan（α_j-α_i）∈[tan0，tan$\frac{π}{6}$]，
又∵[tan0，tan$\frac{π}{6}$]=[0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]，
∴0≤$\frac{x-y}{1+xy}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查不等式的证明，通过转化为正切函数的差角公式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．