Question

10．已知点A的坐标为（0，8），直线l：x-2y-4=0与y轴交于B点，P为直线l上的动点．
（1）求以AB为直径的圆C的标准方程；
（2）圆E过A、B两点，截直线l得到的弦长为$6\sqrt{5}$，求圆E的标准方程；
（3）证明以PA为直径的动圆必过除A点外的另一定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据中点坐标公式求出圆心的坐标，再求出半径，继而得到圆C的标准方程；
（2）设圆E的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，根据圆心（a，b）到直线l的距离为d=$\frac{|a-2b-4|}{\sqrt{5}}$，以及圆E过A、B两点，截直线l得到的弦长为$6\sqrt{5}$，得到方程组，解得即可；
（3）求出圆的方程，根据圆的方程建立方程组关系即可得到结论．

解答 解：（1）直线l：x-2y-4=0与y轴交于B点，
∴B（0，-2），
∵A的坐标为（0，8），
∴AB中点的坐标为（0，3），|AB|=|8+2|=10，
∴以AB为直径的圆C的标准方程为x²+（y-3）²=25，
（2）设圆E的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
∵圆E过A、B两点，截直线l得到的弦长为$6\sqrt{5}$，
∴圆心（a，b）到直线l的距离为d=$\frac{|a-2b-4|}{\sqrt{5}}$
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+（8-b）^{2}={r}^{2}}\\{{a}^{2}+（-2-b）^{2}={r}^{2}}\\{（3\sqrt{5}）^{2}+{d}^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=10}\\{b=3}\\{r=5\sqrt{5}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=-5}\\{b=3}\\{r=5\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴圆E的标准方程为（x-10）²+（y-3）²=125或（x+5）²+（y-3）²=50；
（3）：∵p为直线x-2y-4=0上的一动点，
∴设p（2m+4，m），设定点坐标为D（x，y），
则以PA为直径的圆的方程为x（x-2m-4）+（y-8）（y-m）=0，
即x²+y²-4x-8y+m（-2x-y+8）=0，②，
若直线过定点，则满足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-4x-8y=0}\\{-2x-y+8=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$
∴必过定点（4，0）．

点评 本题主要考查圆的方程的应用，直线和圆的位置关系，圆的标准方程，以及圆过定点问题，综合考查学生的计算能力．