Question

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x-1 且f（0）=-3．
（1）求f（x）的解析式；              
（2）指出函数y=|f（x）|的单调区间；
（3）若关于x的方程|f（x）|-a=x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数解析式的求解及常用方法,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c，利用f（x+1）-f（x）=2x-1，且f（0）=-3，求出a，b，c，即可求f（x）的解析式．
（2）画出函数y=|f（x）|的图象，由图象求出单调区间，
（3）分别画出y=|x²-2x-3|与y=x+a的图象，分别求出直线和曲线相切时a的值，由图象可得a的范围．

解答： 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=-3，得c=-3，
∵f（x+1）-f（x）=2x-1，
∴a（x+1）²+b（x+1）-3-（ax²+bx-3）=2ax+a+b=2x-1，
∴a=1，b=-2，
∴f（x）=x²-2x-3；
（2）y=|f（x）|=

x2-2x-3，x＜-1或x＞3 -x2+2x+3，-1≤x≤3

，画出函数的图象，如图所示，由图象可知，递增区间[-1，1]，[3，+∞）；递减区间（-∞，-1），（1，3），
（3）原方程变形为|x²-2x-3|=x+a，在同一坐标系下再作出y=|x²-2x-3|与y=x+a的图象（如图所示），则当直线y=x+a过点（-1，0）时，a=1；
当直线y=x+a与抛物线y=-x²+4x+3相切时，
由

y=x+a y=-x2+2x+3

得x²-x+a-3=0，由△=1-4（a-3）=0．得a=

13

4

．
由图象知当a∈[1，

13

4

]时，方程至少有三个不等实根．

点评：本题主要考查解析式的求法，绝对值函数的图象和画法，和直线和曲线的交点问题，属于中档题．