Question

14．已知函数f（x）=x|x-a|，若对任意x₁∈[2，3]，x₂∈[2，3]，x₁≠x₂恒有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＞\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，则实数a的取值范围为[3，+∞）．

Answer 1

分析 根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：满足条件有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＞\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$的函数为凸函数，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax，}&{x≥a}\\{-{x}^{2}+ax，}&{x＜a}\end{array}\right.$，作出函数f（x）的图象，
由图象知当x≤a时，函数f（x）为凸函数，当x≥a时，函数f（x）为凹函数，
若对任意x₁∈[2，3]，x₂∈[2，3]，x₁≠x₂恒有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＞\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，
则a≥3即可，
故实数a的取值范围是[3，+∞），
故答案为：[3，+∞）

点评 本题主要考查分段函数的应用，根据条件转化为凹函数和凸函数的定义，利用数形结合是解决本题的关键．