Question

6．已知函数f（x）=x³-2x²+x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）首先对f（x）求导f'（x）=3x²-4x+1=（x-1）（3x-1），判断导函数的零点；
（2）利用导函数图形来判断原函数f（x）的图象，求出最值；

解答 解：（Ⅰ）因为f（x）=x³-2x²+x，
∴f'（x）=3x²-4x+1=（x-1）（3x-1），
令f'（x）＞0得：x＞1或x＜$\frac{1}{3}$；
f'（x）＜0得：$\frac{1}{3}＜\\;x\\;＜1$ x＜1，
∴函数f（x）的单调递增区间为：（-∞，$\frac{1}{3}$），（1，+∞）
函数f（x）的单调递减区间为（$\frac{1}{3}$，1）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x），f'（x） 的变化情况如下表：

x	（-∞，$\frac{1}{3}$）	$\frac{1}{3}$	（$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值$\frac{4}{27}$	单调递减	极小值0	单调递增

∴当x=$\frac{1}{3}$时，f（x）有极大值，且极大值为 f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{4}{27}$．
当x=1时，f（x）有极小值，且极小值为f（1）=0．

点评 本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，以及函数的最值问题，属基础题；