Question

18．已知指数函数y=g（x）的图象过点（2，4），定义域为R，f（x）=$\frac{-g（x）+n}{2g（x）+m}$是奇函数．
（1）试确定函数y=g（x）的解析式；
（2）求实数m，n的值；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知g（x）=a^x（a＞0且a≠1），把点（2，4）代入，求得a的值，可得函数y=g（x）的解析式．
（2）根据f（0）=0、f（1）=-f（-1），求得n、m的值．
（3）根据 f（x）在R上是减函数，所以有t²-2t＞k-2t² ，即不等式3t²-2t-k＞0恒成立，由△=4+12k＜0，求得实数k的取值范围．

解答 解：（1）由已知g（x）=a^x（a＞0且a≠1），因为指数函数y=g（x）图象过点（2，4），所以a²=4．
∵a＞0且a≠1，∴a=2，即g（x）=2^x ．
（2）由（1）可知$f（x）=\frac{{-{2^x}+m}}{{{2^{x+1}}+m}}$，∵f（0）=0，即$\frac{-1+n}{4+m}=0∴n=1$．
又由f（1）=-f（-1），可知$\frac{-2+1}{4+m}$=-$\frac{-\frac{1}{2}+1}{1+m}$，m=2，∴m=2，n=1．
（3）由（2）可知$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{2+{2^{x+1}}}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}+1}}$，
∵函数f（x）在R上是减函数，所以有t²-2t＞k-2t² ，对任意的t∈R，不等式3t²-2t-k＞0恒成立，
由△=4+12k＜0，求得$k＜-\frac{1}{3}$，∴实数k的取值范围是$（-∞，-\frac{1}{3}）$．

点评 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，奇函数的性质，函数的单调性的应用，属于中档题．