Question

9．设函数f（x）=|x-2|+|x+3|，x∈R．
（1）求不等式f（x）≤x+5的解集；
（2）如果关于x的不等式f（x）≥a²+4a在R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用分段函数，分类讨论求得不等式的解集．
（2）先利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值，再根据次最小值大于或等于a²+4a，求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-2x-1（{x≤-3}）}\\{5（{-3＜x＜2}）}\\{2x+1（{x≥2}）}\end{array}}\right.$，当x≤-3时，-2x-1≤x+5，∴x＞-2，不等式无解；
当-3＜x＜2时，5≤x+5，∴求得 0≤x＜2；
当x≥2时，2x+1≤x+5，∴求得2≤x≤4．
综上可得，不等式f（x）≤x+5的解集为{x|0≤x≤4}．
（2）f（x）=|x-2|+|x+3|≥|x-2-（x+3）|=5，
由a²+4a≤5，得-5≤a≤1，实数a的取值范围为[-5，1]．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．