Question

20．已知等差数列{a_n}，公差d≠0，满足：a₁，a₂，a₄成等比数列，且a₃+a₅=8．数列{b_n}满足b₁=1，2b_n-b_n-1=0（n≥2，n∈N^*）．设c_n=a_n•b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的前n项的和T_n；
（3）设整数m、M使得m＜T_n＜M对?n∈N^*恒成立，求M-m的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的通项公式和题中的关系，建立首项a₁与公差d的方程组，解之得a₁=1，d=2，即可得到数列{a_n}的通项公式；
（2）由等比数列的定义求得b_n；结合（1）的结果求得{c_n}的通项公式．利用错位相减法来求T_n；
（3）利用（2）中T_n的通项公式求得M、m的值；然后求M-m的最小值．

解答 解：（1）由题设a₂²=a₁•a₄，即（a₁+d）²=a₁•（a₁+3d），亦即a₁d=d²． 
又d≠0，故a₁=d．
又由a₃+a₅=8，得a₄=4，即a₁+3d=4，于是a₁=d=1．
  a_n=1+（n-1）=n．
（2）∵2b_n-b_n-1=0，
∴$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴c_n=n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴T_n=1•（$\frac{1}{2}$）^1-1+2•（$\frac{1}{2}$）^2-1+3•（$\frac{1}{2}$）^3-1+…+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）^2-1+2•（$\frac{1}{2}$）^3-1+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{2}$+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
T_n=4[1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ]-n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
=4-4•（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
=4-（2n+4）（$\frac{1}{2}$）ⁿ；
（3）由（2）可得：T_n＜4且T_n＞3，
∴T_n+1-T_n=4-（2n+6）（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹-4+（2n+4）（$\frac{1}{2}$）ⁿ=（$\frac{1}{2}$）ⁿ（n+1）＞0，
∴T_n≥T₁=1，
∴当M=4，m=0时，M-m取得最小值4．

点评 本题主要考查了数列通项公式及数列求和的方法，属常规题目，属中档题．解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．