Question

5．设x、y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{4x-y-4≤0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，则${log}_{\sqrt{3}}（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）$的最小值为2．

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值得到a，b的关系式，利用基本不等式求解最值即可．

解答 解：约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{4x-y-4≤0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$的可行域如图，有可行域可知：z=ax+by（a＞0，b＞0）在（2，4）点取得最大值，故2a+4b=6，即a+2b=3，3=a+2b=a+b+b≥3$\root{3}{abb}$≥3$\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}}$=$\frac{9}{\frac{1}{a}+\frac{2}{b}}$，所以$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$≥3，
，则${log}_{\sqrt{3}}（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）$≥$lo{g}_{\sqrt{3}}3$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查线性规划的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．