Question

10．证明：
（1）$\sqrt{a}$-$\sqrt{a-1}$＜$\sqrt{a-2}$-$\sqrt{a-3}$（a≥3）；
（2）对正数a，b，若a+b=2，则$\frac{1+b}{a}$，$\frac{1+a}{b}$中至多有一个小于2．

Answer 1

分析 （1）使用分析法逐步找出使不等式成立的条件即可．
（2）利用反证法进行证明即可．

解答 证明：（1）欲证$\sqrt{a}$-$\sqrt{a-1}$＜$\sqrt{a-2}$-$\sqrt{a-3}$，
只需证$\sqrt{a}$-$\sqrt{a-2}$＜$\sqrt{a-1}$-$\sqrt{a-3}$，
只需证：（$\sqrt{a}$-$\sqrt{a-2}$）²＜（$\sqrt{a-1}$-$\sqrt{a-3}$）²，即2a-2-2$\sqrt{a}$•$\sqrt{a-2}$＜2a-4-2$\sqrt{a-1}$•$\sqrt{a-3}$．
只需证：a²-2a＞a²-4a+4+2$\sqrt{{a}^{2}-4a+3}$，即a-2＞$\sqrt{{a}^{2}-4a+3}$，
只需证：a²-4a+4＞a²-4a+3，
只需证：4＞3．
显然，4＞3恒成立，
∴$\sqrt{a}$-$\sqrt{a-1}$＜$\sqrt{a-2}$-$\sqrt{a-3}$（a≥3）；
（2）假设$\frac{1+b}{a}$＜2，$\frac{1+a}{b}$＜2，
∵a＞0，b＞0，
∴1+b＜2a，1+a＜2b，
∴2+b+a＜2（a+b），
∴a+b＞2，与a+b=1矛盾，
∴$\frac{1+b}{a}$，$\frac{1+a}{b}$中至多有一个小于2．

点评 本题考查了分析法证明不等式，用反证法证明时，应先假设原命题不成立，即原命题的反面成立，只需否定原命题的结论即可，属于中档题．