Question

【题目】如图，某污水处理厂要在个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道（，E是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好，设计要求管道的接口E是AB的中点，F、G分别落在AD、BC上，且，，设.

（1）试将污水管道的长度l表示成的函数，并写出定义域；

（2）当为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度.

Answer 1

【答案】（1），定义域.（2）或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为

【解析】

（1）根据题意分别表示出，，即可得解；

（2）结合（1）化简可得，，利用换元法，令，根据函数性质即可求解.

（1）由题意，，则，∵E是的中点，，

∴，，∴，则，定义域.

（2）由（1）可知，，

化简可得，

令.

∵，∴，

可得，则，

可得：，且，那么.

当时，取得最大值为，

此时，即或，∴或，

故或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为.