Question

设g（x）=px-

q

x

-2f（x），其中f（x）=lnx，且g（e）=qe-

p

e

-2（e为自然对数的底数）．
（1）求p与q的关系；
（2）若g（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（3）若a∈R，试讨论方程f（x）=x+a的解的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题意得出等式解方程即可；（2）先求出函数g（x）的导数，再通过讨论p的范围综合得出 结论；（3设h(x)=lnx-x-a，h′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
从而得出x=1为h（x）的极大值点，所以h（x）≤h（1）=-1-a．再分别讨论a范围，求出函数的解的个数．

解答： 解：（1）由题意g(x)=px-

q

x

-2lnx，
得g(e)=pe-

q

e

-2，又g(e)=qe-

p

e

-2，
∴pe-

q

e

-2=qe-

p

e

-2，
∴（p-q）e+（p-q）

1

e

=0
∴（p-q）（e+

1

e

）=0，
∴p=q，
（2）由（1）知：g(x)=px-

p

x

-2lnx，
显然，g（x）的定义域为（0，+∞）.g′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

，
令h（x）=px²-2x+p．要使g（x）在（0，+∞）为单调函数，只需h（x）在（0，+∞）满足：h（x）≥0或h（x）≤0恒成立．
①p=0时，h（x）=-2x，
∵x＞0，
∴h（x）＜0，
∴g（x）=-

2x

x2

＜0
∴g（x）在（0，+∞）单调递减，∴p=0适合题意．
②当p＞0时，
h（x）=px²-2x+p图象为开口向上抛物线，对称轴为x=

1

p

∈（0，+∞）．
∴h（x）_min=h(

1

p

)=p-

1

p

．只需p-

1

p

≥0，
即p≥1时h（x）≥0，g′（x）≥0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，∴p≥1适合题意．
③当p＜0时，h（x）=px²-2x+p图象为开口向下的抛物线，其对称轴为x=

1

p

∉（0，+∞），
只需h（0）≤0，即p≤0时h（0）≤（0，+∞）恒成立．
∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）单调递减，
∴p＜0适合题意．综上①②③可得，p≥1或p≤0．
（3）设h(x)=lnx-x-a，h′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，x∈（0，+∞）．当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，∴h（x）为单调增函数；当x∈（1，∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）为单调减函数；
∴x=1为h（x）的极大值点，
∴h（x）≤h（1）=-1-a．
①若-1-a＜0，即a＞-1，h（x）=0无解；
②若-1-a=0，即a=-1，h（x）=0有一解x=1；
③若-1-a＞0，即a＜-1，h（1）＞0．在0＜x≤1上h（x）为单调增函数，
且h（e^a）=a-e^a-a＜0，h（x）=0在0＜x＜1上有一解；
在x≥1上h（x）为单调减函数，且h（e^-a）=-2a-e^-a=-（2a+e^-a），
设r（x）=2x+e^-x（x＜-1），
则r'（x）=2-e^-x＞0，r（x）＞r（-1）=-2+e＞0．
∴h（e^-a）=-2a-e^-a=-（2a+e^-a）＜0，h（x）=0在x≥1上有一解．
即a＜-1，h（x）=0有两解．
综合知，a＞-1时，h（x）=0无解；
a=-1时，h（x）=0有一解；
a＜-1时，h（x）=0有两解．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．