Question

已知曲线C：f（x）=2xe^ax-ax²-1．
（Ⅰ）求函数f（x）在（0，f（0））处的切线；
（Ⅱ）当a=-1时，求曲线C与直线y=2x-1的交点个数；
（Ⅲ）若a＞0，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,根的存在性及根的个数判断,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，求出切点，和切线的斜率，写出切线方程；
（Ⅱ）写出a=-1的函数式，曲线C与直线y=2x-1的交点个数与方程x（2e^-x+x-2）=0的解的个数相同，构造函数g（x）=2e^-x+x-2，求出导数，应用单调性求出极值、最值，应用零点存在定理即可判断；
（Ⅲ）通过导数，判断a＞0时的函数f（x）的单调性，注意应用指数函数的单调性，即可证明．

解答： 解：（Ⅰ）f（0）=-1，
∵f′（x）=（2ax+2）e^ax-2ax，
∴f′（0）=2，
∴函数f（x）在（0，f（0））处的切线为y=2x-1．

（Ⅱ）当a=-1时，f（x）=2xe^-x+x²-1，
曲线C与直线y=2x-1的交点个数与方程x（2e^-x+x-2）=0的解的个数相同，
x=0显然是该方程的一个解．
令g（x）=2e^-x+x-2，则g′（x）=-2e^-x+1，
由g'（x）=0得x=ln2
∵x＜ln2时，g′（x）＜0；
x＞ln2时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．
∴g（x）最小值为g（ln2）=ln2-1，
∵ln2＜lne=1，
∴g（ln2）＜0，
∵g（0）=0，g（2）=2e^-2＞0，
∴g（x）的零点一个是0，一个大于ln2，
∴两曲线有两个交点．

（Ⅲ）证明：f′（x）=2[（ax+1）e^ax-ax]
∵a＞0，
∴当x＞0时，ax＞0，
∴ax+1＞1，e^ax＞1，
∴f′（x）=2[（ax+1）e^ax-ax]＞2[（ax+1）-ax]=2＞0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．

点评：本题主要考查导数在函数中的应用：求切线方程，求单调区间，求极值和最值，通过单调性证明，是一道中档题．