Question

10．已知函数f（x）=2lnx+$\frac{m}{x+1}$．
（I）当函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y-4x+1=0垂直时，求实数m的值；
（Ⅱ）若x≥1时，f（x）≥1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，即可得到所求m的值；
（Ⅱ）不等式2lnx+$\frac{m}{x+1}$≥1在x≥1时恒成立，即m≥x+1-2（x+1）lnx在x≥1时恒成立．令g（x）=x+1-2（x+1）lnx（x≥1），求出导数，求得单调区间，即可得到最大值，令m不小于最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{m}{（x+1）^{2}}$，
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k=f′（1）=2-$\frac{m}{4}$，
∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y-4x+1=0垂直，
∴2-$\frac{m}{4}$=-$\frac{1}{4}$，∴m=9；                                              
（Ⅱ）依题意不等式2lnx+$\frac{m}{x+1}$≥1在x≥1时恒成立，
即m≥x+1-2（x+1）lnx在x≥1时恒成立．
令g（x）=x+1-2（x+1）lnx（x≥1），
则g′（x）=1-[2lnx+$\frac{2（x+1）}{x}$]=-$\frac{x+2+2xlnx}{x}$，
∴x≥1时，g′（x）＜0，
∴函数g（x）在[1，+∞）时为减函数，
∴g（x）≤g（1）=2，∴m≥2
即实数m的取值范围是[2，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，主要考查导数的几何意义和不等式恒成立问题，注意运用分离参数和函数的单调性是解题的关键．