Question

10．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，P，Q分别是线段C₁D与AC上的动点，则异面直线CD与AC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，线段PQ的长度的最小值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC这y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CD与AC所成角的余弦值和线段PQ的长度的最小值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC这y轴，DD₁为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），C₁（0，1，2），D（0，0，0），
$\overrightarrow{CD}$=（0，-1，0），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），
设异面直线CD与AC所成角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{CD}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴异面直线CD与AC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
设点P的坐标为（0，λ，2λ），λ∈[0，1]，
点Q的坐标为（1-μ，μ，0），μ∈[0，1]，
∴PQ=$\sqrt{（1-μ）^{2}+（λ-μ）^{2}+4{λ}^{2}}$
=$\sqrt{2{μ}^{2}+5{λ}^{2}-2λμ-2μ+1}$
=$\sqrt{5（λ-\frac{1}{5}μ）^{2}+\frac{9}{5}（μ-\frac{5}{9}）^{2}+\frac{4}{9}}$，
当且仅当λ=$\frac{1}{9}$，μ=$\frac{5}{9}$时，线段PQ的长度取得最小值$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，考查线段长的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．