如图,菱形的边长为4,,.将菱形沿对角线折起,得到三棱锥,点是棱的中点,.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面;
(3)求三棱锥的体积.
(1)详见解析;(2)详见解析;(3).
解析试题分析:(1)利用三角形的中位线平行于相应的底边证明,然后结合直线与平面平行的判定定理即可证明平面;(2)先利用翻折时与的相对位置不变证明,然后利用勾股定理证明,并结合直线与平面垂直的判定定理先证明平面,最终利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面;(3)利用(2)中的结论平面,利用等体积法将三棱锥的体积转化为以点为顶点,所在平面为底面的三棱锥的体积来计算,则三棱锥的高为,的面积为底面积,然后利用锥体的体积公式即可计算三棱锥的体积,在计算的面积时,首先应确定的形状,然后选择合适的公式计算计算的面积.
试题解析:(1)因为O为AC的中点,M为BC的中点,所以.
因为平面ABD,平面ABD,所以平面.
(2)因为在菱形ABCD中,,所以在三棱锥中,.
在菱形ABCD中,AB=AD=4,,所以BD=4.因为O为BD的中点,
所以.因为O为AC的中点,M为BC的中点,所以.
因为,所以,即.
因为平面ABC,平面ABC,,所以平面ABC.
因为平面DOM,所以平面平面.
(3)由(2)得,平面BOM,所以是三棱锥的高.
因为,,
所以.
考点:直线与平面平行、平面与平面平行、等体积法
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,矩形,满足在上,在上,且∥∥,,,,沿、将矩形折起成为一个直三棱柱,使与、与重合后分别记为,在直三棱柱中,点分别为和的中点.
(I)证明:∥平面;
(Ⅱ)若二面角为直二面角,求的值.
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