Question

如图放置的边长为1的正方形DEFG的顶点D，G分别在Rt△ABC的两直角边所在的直线上滑动，则

CE

•

CF

的最大值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：令∠OAD=θ，以CA为x轴的正半轴、CB为y轴正半轴，可得出E，F的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．

解答： 解：如图令∠CDG=θ，由于DG=1故CD=cosθ，CG=sinθ，
如图∠EDA=-θ，DE=1，故x_E=cosθ+cos（-θ）=cosθ+sinθ，y_E=sin（-θ）=cosθ，
故

CE

=（cosθ+sinθ，cosθ）
同理可求得F（sinθ，cosθ+sinθ），即

CF

=（sinθ，cosθ+sinθ），
∴

CE

•

CF

=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，
故

CE

•

CF

的最大值是2，
故答案是 2．

点评：本题主要考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标，属于中档题．