Question

10．已知等差数列{a_n}满足a₃=7，a₅+a₇=26．{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（2）a_n=2n+1，可得b_n=-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=-$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=-$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
由于a₃=7，a₅+a₇=26，
∴a₁+2d=7，2a₁+10d=26，
解得a₁=3，d=2．
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+1，
S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．
（2）∵a_n=2n+1，
∴b_n=-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=-$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=-$\frac{1}{4n（n+1）}$=-$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
因此T_n=b₁+b₂+…+b_n
=-$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=-$\frac{1}{4}$$（1-\frac{1}{n+1}）$
=-$\frac{n}{4（n+1）}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．