Question

已知向量

m

=（sinx，-1），

n

=（cosx，

3

2

），f（x）=（

m

+

n

）•

m

．
（1）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的值域：
（2）锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若f（

B

2

）=

3 2

10

，b=7

2

，a=

4 2

5

c，求边a，c．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角差的正弦公式，化简函数f（x），再由x的范围，结合正弦函数的图象和性质，即可得到所求值域；
（2）运用角的变换和两角和的余弦公式，计算可得cosB，再由余弦定理，结合条件即可求得c，a的值．

解答： 解：（1）由于

m

+

n

=（sinx+cosx，

1

2

），
则f（x）=（sinx+cosx）sinx-

1

2

=sin²x+sinxcosx-

1

2

=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x=

2

2

（

2

2

sin2x-

2

2

cos2x）=

2

2

sin（2x-

π

4

），
当x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，sin（2x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]
则当x∈[0，

π

2

]时，函数f（x）的值域为[-

1

2

，

2

2

]：
（2）由f（

B

2

）=

3 2

10

，得sin（B-

π

4

）=

3

5

，
又B∈（0，

π

2

），即有B-

π

4

∈（-

π

4

，

π

4

），
则cos（B-

π

4

）=

1- 9 25

=

4

5

，
即有cosB=cos[（B-

π

4

）+

π

4

]=cos（B-

π

4

）cos

π

4

-sin（B-

π

4

）sin

π

4

=

4

5

×

2

2

-

3

5

×

2

2

=

2

10

，
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得
98=

32

25

c²+c²-2×

4 2

5

c²×

2

10

，
解得c=5

2

，a=

4 2

5

×5

2

=8．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查二倍角和两角和差的正弦、余弦公式的运用，考查余弦定理，运用正弦函数的图象和性质以及角的变换是解题的关键．