Question

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0，方程f（x）=0在[-9，9]上根的个数为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：先根据偶函数性质，利用赋值法可求出f（3）的值，进一步确定出函数f（x）的周期为6，然后结合x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0，可得函数的单调性，综合以上因素即可获解．

解答： 解：因为y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，
所以f（-3+6）=f（-3）+f（3），且f（-3）=f（3），所以f（3）=0．
故f（x+6）=f（x），故该函数的周期为6．
由且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0可知，函数f（x）在[0，3]上递增，结合偶函数的性质，所以f（x）在[-3，0]上递减．
所以在[-9，9]上只有f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0．
故f（x）=0在[-9，9]上根的个数为4．
故答案为：4．

点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性以及单调性的综合应用，属于中档题，注意转化思想的应用．