Question

已知数列{a_n}的通项公式a_n=log₂

n+1

n+2

（n∈N^*），设数列{a_n}的前n项的和为S_n，则使S_n＜-5成立的正整数n的最小值为

 

（2）已知命题：“在等差数列{a_n}中，若4a₂+a₁₀+a_（）=24，则S₁₁为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n=log₂

n+1

n+2

（n∈N^*），利用对数的运算法则可得：log2

2

n+2

＜-5，化为

2

n+2

＜2-5，解出即可．
（2）设4a₂+a₁₀+a_m=24，则3a₂+a₂+a₁₀+a_m=24，由于S₁₁=

11(a2+a10)

2

=11a₆为定值，可得a₆为定值，3a₂+a₂+a₁₀+a_m=24化为3a₂+2a₆+a_m=24，即3a₂+a_m=4[a1+(

m+6

4

-1)d]，因此

m+6

4

=6，解出即可．

解答： 解：（1）∵a_n=log₂

n+1

n+2

（n∈N^*），
∴数列{a_n}的前n项的和为S_n=log2

2

3

+log2

3

4

+…+log2

n+1

n+2

=log2(

2

3

×

3

4

×…×

n+1

n+2

)=log2

2

n+2

．
S_n＜-5即log2

2

n+2

＜-5，
∴

2

n+2

＜2-5，
解得n＞62，
∴使S_n＜-5成立的正整数n的最小值为63．
（2）设4a₂+a₁₀+a_m=24，则3a₂+a₂+a₁₀+a_m=24，
∵S₁₁=

11(a2+a10)

2

=11a₆为定值，
∴a₆为定值，
∴3a₂+a₂+a₁₀+a_m=24化为3a₂+2a₆+a_m=24，
∴3a₂+a_m=4a₁+（m+3-1）d=4[a1+(

m+6

4

-1)d]，
∴

m+6

4

=6，
解得m=18．
可推得括号内的数为18．
故答案分别为：63；18．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式性质、对数的运算性质、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．