Question

|x-a|+

1

x

≥

1

2

对一切x＞0恒成立，则a的范围（　　）

• A、a≤2
• B、a≤

  3

  2

• C、a≤1
• D、a≤

  1

  2

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：把|x-a|+

1

x

≥

1

2

对一切x＞0恒成立，转化为两个函数y=|x-a|与y=

1

2

-

1

x

的图象问题，数形结合即可求出a的取值范围．

解答： 解：由|x-a|+

1

x

≥

1

2

，得|x-a|≥

1

2

-

1

x

，
|x-a|+

1

x

≥

1

2

对一切x＞0恒成立，转化为当x＞0时，函数y=|x-a|的函数值恒大于等于y=

1

2

-

1

x

的函数值，
对应的图象如图，

由图可知a的取值范围是（-∞，2]．
故选：A．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，这类题目往往转化为最值问题解决，还考查了基本不等式及转化思想，分类讨论等思想方法，数形结合的方法，是中档题．