Question

11．已知A、B两点的坐标为（-1，0）、（1，0），点P到A、B两点的距离比是一个常数a（a＞0），求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．

Answer 1

分析 由$\frac{{|{PA}|}}{{|{PB}|}}=a$可得：$\frac{{\sqrt{{{（{x+1}）}^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{{{（{x-1}）}^2}+{y^2}}}}=a$，两边同时平方并化简可得（a²-1）x²+（a²-1）y²-2（a²+1）x+a²-1=0，分类讨论，判断轨迹类型．

解答 解：由$\frac{{|{PA}|}}{{|{PB}|}}=a$可得：$\frac{{\sqrt{{{（{x+1}）}^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{{{（{x-1}）}^2}+{y^2}}}}=a$
两边同时平方并化简可得（a²-1）x²+（a²-1）y²-2（a²+1）x+a²-1=0（1）
当a=1时，方程变为x=0，表示y轴，是一条直线；
当a≠1时，（1）式两边同时除以（a²-1）可得：${x^2}+{y^2}-\frac{{2（{{a^2}+1}）x}}{{{a^2}-1}}+1=0$
配方后为：${（{x-\frac{{{a^2}+1}}{{{a^2}-1}}}）^2}+{y^2}=\frac{{4{a^2}}}{{{{（{{a^2}-1}）}^2}}}$，
表示以$（{\frac{{{a^2}+1}}{{{a^2}-1}}，0}）$为圆心，以$\frac{2a}{{|{{a^2}-1}|}}$为半径的圆．

点评 本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，求出轨迹方程是关键．