Question

6．给定集合S={x₁，x₂，…，x_n}（n≥2，x_k∈R且x_k≠0，1≤k≤n），（且），定义点集T={（x_i，x_j）|x_i∈S，x_j∈S}．若对任意点A₁∈T，存在点A₂∈T，使得$\overrightarrow{O{A_1}}•\overrightarrow{O{A_2}}=0$（O为坐标原点），则称集合S具有性质P．给出以下四个结论：
①{-5，5}具有性质P；
②{-2，1，2，4}具有性质P；
③若集合S具有性质P，则S中一定存在两数x_i，x_j，使得x_i+x_j=0；
④若集合S具有性质P，x_i是S中任一数，则在S中一定存在x_j，使得x_i+x_j=0．
其中正确的结论有①③．（填上你认为所有正确的结论的序号）

Answer 1

分析 利用集合S具有性质P的概念，{-5，5}-5，5与{-2，1，2，4}分析判断即可；
取A₁（x_i，x_i），集合S具有性质P，故存在点A₂（x_i，x_j）使得OA₁⊥OA₂，利用向量的坐标运算整理即可证得x_i+x_j=0；数列{x_n}中一定存在两项x_i，x_j使得x_i+x_j=0；

解答 解：集合S具有性质P，若A₁（-5，5），则A₂（5，5），若A₁（-5，-5）则A₂（5，-5），均满足OA₁⊥OA₂，所以①具有性质P，故①正确；
对于②，当A₁（-2，3）若存在A₂（x，y）满足OA₁⊥OA₂，即-2x+3y=0，即$\frac{y}{x}=\frac{2}{3}$，集合S中不存在这样的数x，y，因此②不具有性质P，故②不正确；
取A₁（x_i，x_i），又集合S具有性质P，所以存在点A₂（x_i，x_j）使得OA₁⊥OA₂，即x_ix_i+x_ix_j=0，又x_i≠0，所以x_i+x_j=0，故③正确；
由③知，集合S中一定存在两项x_i，x_j使得x_i+x_j=0；
假设x₂≠1，则存在k（2＜k＜n，k∈N^*）有x_k=1，所以0＜x₂＜1．
此时取A₁（x₂，x_n），集合S具有性质P，所以存在点A₂（x_i，x_s）使得OA₁⊥OA₂，
所以x₂x_i+x_nx_s=0；只有x₁，所以当x₁=-1时x₂=x_nx_s＞x_s≥x₂，矛盾，∴x_i是S中任一数，则在S中一定存在x_j，使得x_i+x_j=0．故④不正确；
故答案为：①③

点评 考查新概念的理解与应用，突出考查抽象思维与反证法的综合应用，属于难题．