Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=4，点E、F分别为AB和PD的中点．
（1）求证：直线AF∥平面PEC；
（2）求平面PAD与平面PEC所成锐二面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）取PC中点Q，连接EQ，FQ，推导出四边形AEQF是平行四边形，从而AF∥EQ，由此能证明直线AF∥平面PEC．
（2）以D为原点，DE为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法平面PAD与平面PEC所成锐二面角的正切值．

解答 证明：（1）取PC中点Q，连接EQ，FQ，
∵点E、F分别为AB和PD的中点，底面ABCD为菱形，
∴FQ$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AB$=AE，∴FQ$\underset{∥}{=}$AE，
∴四边形AEQF是平行四边形，
∴AF∥EQ，
∵AF?平面PEC，EQ?平面PEC，
∴由线面平行的判定定理得直线AF∥平面PEC．
解：（2）以D为原点，DE为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，4），E（2$\sqrt{3}$，0，0），C（0，4，0），
$\overrightarrow{PE}$=（2$\sqrt{3}$，0，-4），$\overrightarrow{EC}$=（-2$\sqrt{3}$，4，0），
设平面PEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=2\sqrt{3}x-4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=-2\sqrt{3}x+4y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
∴面PEC的法向量$\overrightarrow n=（2，\sqrt{3}，\sqrt{3}）$
同理得面PAD的法向量$\overrightarrow m=（1，\sqrt{3}，0）$，
设所求二面角为α，则$cosα=|{cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow{n＞}}|=\frac{{\sqrt{10}}}{4}$，
∴$sinα=\frac{{\sqrt{6}}}{4}∴tanα=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．
故平面PAD与平面PEC所成锐二面角的正切值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．