Question

4．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π），在同一周期内，当$x=\frac{π}{12}$时，f（x）取得最大值3；当$x=\frac{7π}{12}$时，f（x）取得最小值-3．
（1）求函数f（x）的解析式和图象的对称中心；
（2）若$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$时，关于x的方程2f（x）+1-m=0有且仅有一个实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的性质可得A，当$x=\frac{π}{12}$时，f（x）取得最大值3；当$x=\frac{7π}{12}$时，f（x）取得最小值-3．求解周期T，可得ω，图象过（$\frac{π}{12}$，0），带入求解ϕ，可得f（x）解析式，令ωx+ϕ=kπ，求解对称中心．
（2）将f（x）的解析式带入化简，求解$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$时，画出f（x）的图象，利用数形结合法，可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）由题意可知A=3，
∵在同一周期内，当$x=\frac{π}{12}$时，f（x）取得最大值3；当$x=\frac{7π}{12}$时，f（x）取得最小值-3．
∴$\frac{1}{2}$T=$\frac{7π}{12}-\frac{π}{12}$
∴$T=π=\frac{2π}{ω}$，
∴ω=2．
又∵$2×\frac{π}{12}+ϕ=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$
得$ϕ=2kπ+\frac{π}{3}，k∈Z$，
∵|ϕ|＜π，
解得$ϕ=\frac{π}{3}$，
∴函数f（x）的解析式$f（x）=3sin（2x+\frac{π}{3}）$．
令$2x+\frac{π}{3}=kπ$得$x=-\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$
∴图象的对称中心为$（-\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，0）$，（k∈Z）．
（2）由（1）知$f（x）=3sin（2x+\frac{π}{3}）$．
那么：方程2f（x）+1-m=0等价于$sin（2x+\frac{π}{3}）=\frac{m-1}{6}$在$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$上有且仅有一个实数解
∵$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$，
∴$2x+\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$，
令函数y₁=sinu，则u∈$[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，其图象为：
结合函数图象有，$\frac{m-1}{6}=1$或$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤\frac{m-1}{6}＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
解得：m=7或$1-3\sqrt{3}≤m＜1+3\sqrt{3}$．
实数m的取值范围为m=7或$1-3\sqrt{3}≤m＜1+3\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦函数的图象及性质的运用．采用数形结合法求解参数问题，属于中档题．