Question

12．已知数列{a_n}是等比数列，数列{b_n}是等差数列，且a₁=b₁，a₂=3，a₃=9，a₄=b₁₄．
（Ⅰ）求{b_n}通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n-b_n，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）利用等比数列、等差数列的通项公式即可得出．
（II）利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，则$q=\frac{a_3}{a_2}=\frac{9}{3}=3$，
所以${a_1}=\frac{a_2}{q}=1$，a₄=a₃q=27，
所以${a_n}={3^{n-1}}$．…3分
设等比数列{b_n}的公比为d，
因为a₁=b₁=1，a₄=b₁₄=27，
所以1+3d=27，即d=2，
所以b_n=2n-1．…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${a_n}={3^{n-1}}$，b_n=2n-1，
所以${c_n}={a_n}-{b_n}={3^{n-1}}-2n+1$．…7分
从而数列{c_n}的前n项和${S_n}=1+3+…+{3^{n-1}}-[{1+3+…+（2n-1）}]$
=$\frac{{1-{3^n}}}{1-3}-\frac{n（1+2n-1）}{2}=\frac{3^n}{2}-{n^2}-\frac{1}{2}$．…10分．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．