Question

16．已知双曲线C的一个焦点与抛物线${C_1}：{y^2}=-16x$的焦点重合，且其离心率为2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求双曲线C的渐近线与抛物线C₁的准线所围成三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）$c=4，\frac{c}{4}=2$，可得a²=4，b²=12，即可求双曲线C的方程；
（2）双曲线C的渐近线方程y=±$\sqrt{3}$x与抛物线C₁的准线x=4，联立得交点坐标求双曲线C的渐近线与抛物线C₁的准线所围成三角形的面积．

解答 解：（1）$c=4，\frac{c}{4}=2$．∴a²=4，b²=12，双曲线C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
（2）双曲线C的渐近线方程y=±$\sqrt{3}$x与抛物线C₁的准线x=4，联立得交点坐标为$（4，4\sqrt{3}），（4，-4\sqrt{3}）$，
所以三角形的面积为$S=16\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．