Question

1．函数$f（x）=（{x-\frac{1}{2}}）（{x-\frac{5}{2}}）（{x-\frac{7}{2}}）$，数列{a_n}的通项公式a_n=|f（n）|，若数列从第k项起每一项随着n项数的增大而增大，则k的最小值为3．

Answer 1

分析 x≥4时，利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：f（1）=$\frac{15}{8}$，f（2）=$\frac{9}{2}$，f（3）=-$\frac{5}{8}$，x≥4时，f（x）＞0，f（4）=$\frac{21}{8}$，
x≥4时，f′（x）=$（x-\frac{5}{2}）$$（x-\frac{7}{2}）$+$（x-\frac{1}{2}）$$（x-\frac{5}{2}）$+$（x-\frac{7}{2}）$$（x-\frac{1}{2}）$＞0，因此函数f（x）单调递增，f（x）≥f（4）＞0．
a₄＞a₃，
因此a_n单调递增．
∴数列从第3项起每一项随着n项数的增大而增大，则k的最小值为3．
故答案为：3．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．